Статистика кең мағынада, табиғат пен қоғамның көптеген құбылыстарының сапалық ерекшелікгерін айқындау үшін сол құбылыстарға жүргізілетін сандық талдау туралы ғылым. Статистика жекелеген бірліктерді емес, сол жеке бірліктердің жиыны болып табылатын жиынтықтарды зерттеу үшін пайдаланылады. Статистика әдістерін дұрыс қолдану үшін басты шарт ол зерттелетін материалдың сапалық біркелкілігі болып табылады.

1889 жылы ағылшын ғалымы Ф.Гальтон (Ч.Дарвиннің не­мере інісі) математикалық статистика әдістерін бірінші рет биологиялық құбылыстарды — өзгергіштік және тұқым қуалаушылықты зерттеу үшін пайдаланды. Ф.Гальтон тірі табиғатты зерттеу үшін статистикалық әдістерді пайдалану жолдарын үйрететін жаңа ғылым — биометрияның (биос — тіршілік, метрейн — өлшеу) негізін салушы болып табылады.

Ф.Гальтон еңбектері бірден замандастарының көңілін өзіне аудартты, бірақ көп кешікпей оларды түңілтті де. Өйткені Гальтон тірі табиғаттың ерекшеліктерін ескермегендіктен, тұқым қуалау және өзгергіштік мөселелерін шешуде механикалық көзқараста болды. Бұл математикамен әуестенудің нәтижесінде болды және биологиялық талдау жасау ісіне үлкен зиянын тигізді.

«Вариациялық статистика» терминін ғылымға 1899 жылы Дункер кіргізді. Ол термин биологиялық құбылыстарды математикалық статистика әдістері арқылы зерттеу керектігін білдіреді. Сондықтан «Биометрия», «Вариациялық статисти­ка» терминдері синонимдер болып табылады.

XX ғасырдың 30-шы жылдарында математикалық статис­тика әдістері еліміздің әртүрлі Тәжірибе жұмыстарында және биологияда кең түрде қолданыла бастады. Отанымыздың белгілі ғалымдары Ю.А.Филипченко, А.А.Сапеган, П.Н.Констан­тинов, Н.Ф.Деревицкий т.б. вариациялық статистиканы кең түрде түсіндіріп таратумен қатар оның дамуына өздерінің үлкен үлесін қосты. Егін далаларында жүргізілген

Таңдама тәсіл. Дискретті статистикалық қатар. Интервалдық статистикалық қатар.

Бас жиынтық және таңдама.

Біртекті обьектілердің жиынтығын оларды сипаттайтын сапалық және сандық белгісі бойынша зерттеу керек болсын. Мысалы, бір партия құралдар бар болса, олардың сапалық белгісі ретінде стандарттылығы сандық белгісі ретінде-құралдың өлшемі қарастырылады.

Кей кезде жиынның әр обьектісін қажет белгісіне қатысты зерттеп, жаппай зерттеу жүргізеді. Алайда, практикада мұндай жаппай зерттеу салыстырмалы түрде сирек қолданылады.

Таңдама жиынтық немесе жай таңдама деп кездейсоқ таңдап алынған обьектілер жиынын айтады.

Бас жиынтық деп ішінен таңдама жүргізілетін обьектілер жиынын айтады. Жиынтық көлемі деп осы жиынтықтың обьектілер санын айтады.

Практикада таңдаманың түрлі әдістері қолданылады. Бұл әдістерді 2 түрге топтауға болады.

І. Бас жиынтықты бөлшектеп бөлуді қажет етпейтін таңдама, оған:

а) жай кездейсоқ қайталанымсыз таңдама;

б) жай кездейсоқ қайталанбалы таңдама;

ІІ. Бас жиынтық бөлшектеп бөлінетін таңдама, оған:

а) типтік таңдама;

ә) механикалық таңдама;

б) сериялық таңдама

жатады.

Жай кездейсоқ таңдама деп барлық бас жиынтықтан обьектілерді бір-бірден алатын таңдаманы атайды. Егер алынған карточкаларды бумаға қайтармаса, онда таңдама жай кездейсоқ қайталанымсыз болады.

Типтік таңдама деп, обьектілер бас жиынтықтың барлығынан емес, оның әрбір «типтік» бөлігінен алынатын таңдаманы атайды.

Механикалық таңдама деп бас жиынтық таңдамаға қанша обьект қажет болса, сонша топқа бөлінетін таңдаманы атайды, әрбір топтан бір обьект алынады.

Сериялық таңдама деп бас жиынтықтан обьектілерді бір-бірден емес, жаппай зерттеуге ұшырайтын обьектілер «серияларменң таңдап алатын таңдаманы атайды.

Көптеген кездейсоқ құбылыстардың бағынатын заңдылығын анықтау мәселесі, бақылау нәтижесінің статистикасын зерттейтін ықтималдық теориясының әдісіне негізделген.

Математикалық статистиканың мынадай есептерін қарастырамыз:

1. Жүргізілген тәжірибенің немесе бақылаудың нәтижесінде, алынған статистикалық мағлұматтарға жинау жән оларды топқа бөлу әдістерін көрсету.
2. Зерттеудің мақсатына байланысты статистикалық мағлұматтарға анализ жасау әдістерін іздеп табу.

Математикалық статистиканың міндеті ғылыми және трактикалық тұжырымдар жасау үшін сиатистикалық мағлұматтарды жинау.

Кейде қажетті белгісі бойынша , заттар жиынтығындағы әрбір затты түгелдей тексеруге тура ккеледі. Іс жүзінде бұлай түглдей тексеру өте сирек зерттейді. Таңдап алынған жиынтықнемесе жай ғана таңдамалыдеп, кездейсоқ таңдап алынған заттардың жиынын айтады.

Бас жиынтық деп, таңдамалы жасалатын заттардың жиынтығын айтады.

Көлем жиынтығыдеп, осы жинақтың ішіндегі заттардың санын айтады. Мысалы, егер 1000 бөлшектен тексеру ғғшін 100 бөлшек бөліп алынса, онда бас жиыниықтың көлемі N=1000, ал таңдамалы жиынтығының көлемі n=100.

2. Таңдаманың статистикалық таралуы

Алынған таңдамалық зерттеулерді жүйелендіруде таралудың статистикалық дискретті және интервалды қатарлар қолданылады.

Вариациялық қатар — сәйкес жиіліктерімен бірге ранжирленген ретпен орналасқан белгінің сандық мәндері.

Вариациялық қатардың қолданылуы:

Орта шама – зерттеліп отырған белгі өлшемінің жалпылама сипаттамасы. Ол бір санмен сапалы біртекті жиынтықты сандық сипаттауға мүмкіндік береді.

Таңдаманың статистикалық таралуы деп варианталар мен оларға сәйкес жиіліктер немесе салыстырмалы жиіліктердің тізімі аталады.

1. Статистикалық таралуды интервалдар тізбегі және оларға сәйкес жиіліктер (интервалға сәйкес жиілік ретінде осы интервалға түскен жиіліктер қосындысын қабылдайды) тізбегі түрінде беруге болады.

Мода (Мо) – кездейсоқ шаманың ең жиі кездесетін мәні

2. Медиана (Ме) – таңдаманы қақ ортасынан бөлетін кездейсоқ шаманың мәні. Барлық мәндерді ранжрленген қатарға орналастыру керек.

Таңдаманың 50% жоғары не төмен орналасқан мәнді көрсетеді.

3. Минимал мәні
4. Максимал мәні
5. Қадам
6. Орташа қатесі (стандартты) – таңдама көрсеткіштің (статистика) оның генеральды параметрінен ауытқу шамасы.

Бақылау нәтижесінде қарастырылып отырған белгінің жиынтықтағы, әрдір бірлікке қатысты сандық немесе сапалық өзгерісі туралы мәлімет аламыз. Статистикалық бақылаудың мақсаты сол жиынтықта белгінің өзгеруін (вариациясын) шешу. Ал белгінің мүмкін мәндерін статистикада вариантадеп атайды. Варианталар сандық (дискретті немесе үздіксіз) болатын мүмкіндігін көрдік.

Тәжірибе жүргізілгенде белгі мәндері қалай болса солай орналасуы мүмкін. Мысалы, тексерілген 100 вал диаметрі см-мен 15, 12, 16, 12, 13, 14, 16, 13, 14, 12 болып шықты. Мұны реттеп жазсақ 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 16 болар еді. Мұны ықшамдап кесте түрінде жазсақ, мынадайболады:

x 12 13 14 15 16 Σ

ni 3 2 2 1 2 10.

Бұл кестенің жоғарғы жолын белгі мәндері (варианталары), ал төменгі жолында әрбір мәннің неше рет кездескені келтірілген. Осылай реттелген кестені вариациялық қатар деп атайды. Әдетте белгіні (вариантаны) кездейсоқ шамалар сияқты х, у, z, …., y_k, z₁, z₂, …., z_k арқылы белгілейміз. Варианта қайталап отыруы мүмкін. Ол қайталаулардың абсалютті санын (жиілігін) n₁, n₂… n_k деп белгілесек, онда вариациялық қатардың жалпы түрін мына кесте көрсетеді.

2 – кесте

x	х1	х2	…	xk	Σ
ni	n1	n2	…	nk	n

мұнда, х_і – варианталары сәйкес;

n_i – жиіліктер;

— вариация қатардың көлемі.

Іс жүзінде варианта абсалютті жиілікпен қатар салыстырмалы жиілік түрінде де беріледі. Бұл жағдайда 2 кесте былай жазылады:

3 – кесте

хі	х1	х2	…	xk	Σ
wi	w1	w2	…	wk

мұндағы,  — салыстырмалы жиілік

ал,

— салыстырмалы жиіліктердің қосындысына тең.

Егер вариациа үздіксіз өзгеретін болса, онда вариациалық қатарды интервалдар бойынша құруға тура келеді.

Жалпы түрде интервалдық қатар мынадай болады:

4 – кесте.

Жиіліктің интервалдық түрі.

x	(x1;x2)	(x2;x3)	(x3;x4)	…	(xm;xm+1)
ni	n1	n2	n3	…	nm

немесе

5 – кесте.

Салыстырмалы жиіліктің интервалдық түрі.

x	(x1;x2)	(x2;x3)	(x3;x4)	…	(xm;xm+1)
wi	w1	w2	w3	…	wm

мұндағы (x_1;x₂), (x_2;x₃), (x_3;x₄) …, (x_m;x_m+1) аралықтары белгінің мүмкін мәндері жататын интервалды к₁= x₂-x₁; к₂= x₃-x₂, к_m= x_m+1-x_m – айырымдары интервалды сипаттайды.

3. Полигон және гистограмма

Жиілік полигоны деп (x_і; n_i), (x₂; n₂), …, (x_к; n_к), нүктелерін кесінділермен қосқанда шыққан сынық сызықтарды айтады. Полигон салу үшін абцисса осіне x_і – варианттары, ал оларға сәйкес жиіліктері ордината осіне салынады. (x_і; n_i) нүктелерін кесінділермен қоссақ жиілік полигонын аламыз (1 сурет). Салыстырмалы жиілік полигоны деп (x₁; w₁), (x₂; w₂), …, (x_к; w_к) нүктелерін кесінділермен қосқанда шыққан сынық сызықтарды айтады. Салыстырмалы жиілік полигонын салу үшін, абцисса осіне x_і – варианттары, ал оларға сәйкес w_i – салыстырмалы жиіліктер ордината осіне салынады. (x_і; w_і) – нүктелерін кесінділермен қоссақ салыстырмалы жиілік полигонын аламыз.

Жиілік гистограммасы деп табандарының ұзындықтары һ – қа тең дербес интервалдан, ал биіктері     қатынасындай болатын тік төртбұрыштардан құрылған сатылы фигураны айтады.

Жиілік гистограммасын салу үшін абцисса осіне дербес интервалды, ал олардың жоғарғы жағынан абцисса осіне паралелль және одан ара қашықтықтары  — қа тең кесінділер жүргіземіз. Мұндағы  — жиілік тығыздығы. і – ші тік төртбұрыштың    — ге тең. Сонымен жиілік гистограммасының ауданы барлық жиіліктердің қосындысына тең, яғни таңдау көлеміне тең.

Салыстырмалы жиілік гистограммасыдеп, табандарының ұзындықтары һ – қа тең интервалдар, ал биіктіктері    (салыстырмалы жиілік тығыздығы) қатынвсына тең тік төртбұрыштардан құрылған фигураны айтады.

Салыстырмалы жиілік гистограммасын салу үшін абцисса осіне интервалдарды, ал оның жоғарғы жағынан абцисса осіне паралелль және одан қашықтықтары   қатынасына тең кесінділерді саламыз.

і – ші тік төртбұрыштың ауданы:

— ге тең.

Сонымен салыстырмалы жиілік гистограммасының ауданы, барлық салыстырмалы жиіліктер қосындысына, яғни бірге тең.

Мысал. Берілген 3 – ші суретке сәйкес көлемі n-100 жиілік үлестірімінің гистограммасы бейнеленген.

Ұзындығы һ=5 интервалдар	Интервалдардың вариант жиіліктерінің қосындысы	жиілік

Статистикалық үлестірімнің сандық сипаттамаларын және оларды есептеу формулаларын қарастырайық.

1) Арифметикалық таңдамалы орта. Белгінің (Х) арифметикалық ортасы   деп варианталардың жалпы санына (таңдаманың көлеміне) қатынасын айтады, яғни (егер барлық варианталар әртүрлі болса):

— таңдама көлемі.Мұнда: х_і – варианталар (белгі мәндері):

Егер таңдама вариациялық қатармен беоілсе, онда:

x	x1	x2	…	xк
ni	n1	n2	…	nк

мұнда: n_і – варианталар cалмағы (жиілігі);  — таңдамалы көлемі; х_і – варианталар.

2) Мода (М₀). Берілген вариациялық қатардың ең жиі кездесетін вариантасын мода деп атайды. Басқаша айтқанда, ең жоғары жиілікке сәйкес варианта мәні мода болады.

3) Медиана (М_е). Жиынтықты тең етіп екіге бөлетін белгі мәнін медиана деп атаймыз. Егер белгінің өзгеруші мәндері тақ болып, ұлғаю ретімен орналасса x_1,x₂, …, x_{m-1, ,}x_m ,x_m+1, …, _,x_2n-1, онда бұл үйлестіру үшін М_е медианасы х_m вариантасына тең, яғни М_е =х_m, өйткені М_е =х_m – нен төмен де жоғары да белгінің саны бірдей m-1 мәндері орналасқан.

Ал варианта саны жұп болса, x_1,x₂, …, x_{m-1, ,}x_m ,x_m+1, …, _,x_2m, онда бұл жиынтықты тең екіге бөлетін медиана мәні (x_m ,x_m+1) аралығында болады. Бұл жағдайда медиана М_е – нің мәні осы екі вариантаның арифметикалық ортасы болады, яғни:

4) Вариация құрамы. Ауытқу сипаттамаларының ішіндегі ең қарапайым – вариация құрамы. Мұның мәні R белгінің максимум және минимум мәнінің айырымына тең:

5) Дисперсия және орташа квадраттық ауытқу. Кездейсоқ шамамен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия (шашырау дейді). Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д(х) арқылы белгілесек, онда анықтама бойынша:

Белгі мәндерінің арифметикалық ортадан ауытқу квадраттары қосындысының арифметикалық ортасын таңдамалы дисперсия немесе дисперсиядейміз.

— өлшенген түрі, немесе

— жай түрі

6) Түзетілген дисперсия      

7) Орташа квадраттық ауытқу

Вариация коэффициенті

4. Тандама орта және дисперсияны есептеу көбейту әдісі

а) Шарттық варианталар. Делік, таңдама варианттарлары өспелі ретінде орналасқан, яғни вариациялық қатар түрінде. Айырымы h – қа тең арифметикалық прогрессияны құрастыратын варианталарды бірдей қашықтықтағы варианталар деп атайды. формуламен анықталатын вариантталарды  шарттық варианта деп атайды. Мұндағы С – жалған ноль (санақтың жаңа бастамасы), Һ – қадам (екі көрші варианталардың айырмасы).

Алғашқы варианталарды шарттық варианталарға ауыстыруы, ықшамдалған әдістер таңдамының жинақты сипаттамаларын есептеу үшін негізделген.

б) Таңдамалы орта мен дисперсияны есептеу көбейтінді әдісін қарастырайық.

Делік, таңдама бірдей қашықтықтағы варианталар және оларға сәйкес жиіліктер түрінде берілсін. Бұл жағдайда таңдамалы ортаны және дисперсияны көбейту әдісі формулаларымен табу қолайлы.

Яғни,    — таңдамалы орта

— таңдамалы дисперсия

Мұндағы һ – қадам

С – жалған ноль (ең үлкен жиілігі бар варианта).

— бірінші ретті шарттық сәт.

— екінші ретті шарттық сәт.

Көбейтінді әдісін қолдауын бір мысалда қарастырайық.

Мысал. Көлемі n=100 берілген үлестірімнің таңдамалы орта мен дисперсиясын табыңыз.

Шешуі. Бірінші есептеу кестені құрамыз. Ол үшін:

1) Варианталарды бірінші бағанға жазамыз.

2) Жиіліктерді екінші бағанға жазамыз, жиілік қосындысын (n=100) екінші бағанның төменгі торшасына жазамыз.

3) Жалған ноль (С) ретінде С=16 вариантаны аламыз, оның ең үлкен жиілігі бар (С ретінде бағаның ортасында тұрған әлде қандай вариантаны алуға болады). Жалған ноль тұрған жолдың үшінші бағанның торшасына 0 жазамыз, оның үстінен тізбектеп – 1, -2 – жазамыз, ал 0-дың астына 1,2,3 жазамыз.

4) Жиіліктердің шарттық варианталарға  көбейтінділерін төртінші бағанға жазамыз, ал олардың қосындысын    бағанның төменгі торшасына орналастырамыз.

хі	ni
12	5	-2	-10	20	5	1
14	15	-1	-15	15	0	0
16	50	0	0	0	50	1
18	16	1	16	16	64	4
20	10	2	20	40	90	9
22	4	3	12	36	64	16

=23

Бақылау:

273=127+2*23+100

273=127+146

273=273

5) Жиілікті шарттық варианталардың квадраттарына көбейтіп шыққан көбейтінділерді бесінші бағанға жазамыз, шыққан сандарды қосып, олардың қосындысын  бағанның төменгі торшасына орналастырады.

6) Шарттық ықтималдылықтарды 1 санына үлкейтіп және олардың квадраттарын сәйкес жиеліктерге көбейтіп  көбейтіндіні алтыншы бақылау бағанға жазамыз; барлық шыққан сандарды қосып, олардың қосындысын  бағанның төменгі торшасына орналастырамыз.

Қорытындыда 1-ші кесте шығады.

Бақылау үшін мына теңбе-теңдікті қолданамыз:

Бақылау:  ;    =127+2*23+100

Бақылау қосындылардың дәл келу есептеуінің дұрыс болу куәлігі. Бірінші және екінші ретті шарттық сәттерді есептейміз.

Қадамын табайық һ=14 – 12=2

Жалған ноль С=16 еске алып, таңдамалы орта мен дисперсияны есептейміз.

Сенімділік интервалды анықтайық (   —  ;  +  ); мұндағы  – бағаны мына формуламен анықтаймыз  =  , ал t параметрді    қатынасын табамыз.  сенімділігі бар жиынтықтың белгісіз математикалық күтімін а бағалау үшін сенімділік интервалды табамыз. Сонымен  ;  ; (екінші кестеден t=1.96) енді баға

;16,46-0,43<a<16,46+0,43; 16,03<a<16,89

немесе

Таңдама. Таңдаманың сандық сипаттамалары.

Көптеген кездейсоқ құбылыстардың бағынатын заңдылығын анықтау тәселесі, бақылау нәтижесінің статистикасын зерттейтін ықтималдық теориясының әдістіне негізделген.
Математикалық статистииканың мынадайесептерін қарастырамыз:

1. Жүргізілген тәжірибенің немесе бақылаудың нәтижесінде, алынған статистикалық мағлұматтарға жинау жән оларды топқа бөлу әдістерін көрсету.
2. Зерттеудің мақсатына байланысты статистикалық мағлұматтарға анализ жасау әдістерін іздеп табу.

Математикалық статистиканың міндеті ғылыми және трактикалық тұжырымдар жасау үшін сиатистикалық мағлұматтарды жинау.

Кейде қажетті белгісі бойынша, заттар жиынтығындағы әрбір затты түгелдей тексеруге тура ккеледі. Іс жүзінде бұлай түглдей тексеру өте сирек зерттейді. Таңдап алынған жиынтық немесе жай ғана таңдамалы деп, кездейсоқ таңдап алынған заттардың жиынын айтады.

Бас жиынтық деп, таңдамалы жасалатын заттардың жиынтығын айтады.
Көлем жиынтығы деп, осы жинақтың ішіндегі заттардың санын айтады. Мысалы, егер 1000 бөлшектен тексеру ғғшін 100 бөлшек бөліп алынса, онда бас жиыниықтың көлемі N=1000, ал таңдамалы жиынтығының көлемі n=100.

Вариациялық қатар.

Бақылау нәтижесінде қарастырылып отырған белгінің жиынтықтағы, әрдір бірлікке қатысты сандық немесе сапалық өзгерісі туралы мәлімет аламыз. Статистикалық бақылаудың мақсаты сол жиынтықта белгінің өзгеруін (вариасиясын) шешу. Ал белгінің мүмкін мәндерін статистикада варианта деп атайды. Варианталар сандық (дискретті немесе үздіксіз) болатын мүмкіндігін көрдік.

Тәжірибе жүргізілгенде белгі мәндері қалай болса солай орналасуы мүмкін. Мысалы, тексерілген 100 вал диаметрі см-мен 15, 12, 16, 12, 13, 14, 16, 13, 14, 12 болып шықты. Мұны реттеп жазсақ 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 16 болар еді. Мұны ықшамдап кесте түрінде жазсақ, мынадай болады:

x 12 13 14 15 16 Σ

ni 3 2 2 1 2 10.

Бұл кестенің жоғарғы жолын белгі мәндері (варианталары), ал төменгі жолында әрбір мәннің неше рет кездескені келтірілген. Осылай реттелген кестені вариацмялық қатар деп атайды.

Әдетте белгіні (вариантаны) кездейсоқ шамалар сияқты х, у, z, …., yk, z1, z2, …., zk арқылы белгілейміз. Варианта қайталап отыруы мүмкін. Ол қайталаулардың абсалютті санын (жиілігін) n1, n2… nk деп белгілесек, онда вариациялық қатардың жалпы түрін мына кесте көрсетеді.

Іс жүзінде варианта абсалютті жиілікпен қатар салыстырмалы жиілік түрінде де беріледі.

Егер вариациа үздіксіз өзгеретін болса, онда вариациалық қатарды интервалдар бойынша құруға тура келеді.

Мұндағы (x1;x2), (x2;x3), (x3;x4) …, (xm;xm+1) аралықтары белгінің мүмкін мәндері жататын интервалды к1= x2-x1; к2= x3-x2, кm= xm+1-xm – айырымдары интервалды сипаттайды.

Полигон және гистограмма.

1) Жиілік полигоны деп (xі; ni), (x2; n2), …, (xк; nк), нүктелерін кесінділермен қосқанда шыққан сынық сызықтарды айтады. Полигон салу үшін абцисса осіне xі – варианттары, ал оларға сәйкес жиіліктері ордината осіне салынады. (xі; ni) нүктелерін кесінділермен қоссақ жиілік полигонын аламыз (1 сурет). Салыстырмалы жиілік полигоны деп (x1; w1), (x2; w2), …, (xк; wк) нүктелерін кесінділермен қосқанда шыққан сынық сызықтарды айтады. Салыстырмалы жиілік полигонын салу үшін, абцисса осіне xі – варианттары, ал оларға сәйкес wi – салыстырмалы жиіліктер ордината осіне салынады. (xі; wі) – нүктелерін кесінділермен қоссақ салыстырмалы жиілік полигонын аламыз.
Жиілік гистограммасы деп табандарының ұзындықтары һ – қа тең дербес интервалдан, ал биіктері қатынасындай болатын тік төртбұрыштардан құрылған сатылы фигураны айтады.
Салыстырмалы жиілік гистограммасы деп, табндарының ұзындықтары һ – қа тең интервалдар, ал биіктіктері (салыстырмалы жиілік тығыздығы) қатынвсына тең тік төртбұрыштардан құрылған фигураны айтады.

Салыстырмалы жиілік гистограммасын салу үшін абцисса осіне интервалдарды, ал оның жоғарғы жағынан абцисса осіне паралелль және одан қашықтықтары қатынасына тең кесінділерді саламыз.

Сонымен салыстырмалы жиілік гистограммасының ауданы, барлық салыстырмалы жиіліктер қосындысына, яғни бірге тең.

2) Мода (М₀). Берілген вариациялық қатардың ең жиі кездесетін вариантасын мода деп атайды. Басқаша айтқанда, ең жоғары жиілікке сәйкес варианта мәні мода болады.

3) Медиана (М_е). Жиынтықты тең етіп екіге бөлетін белгі мәнін медиана деп атаймыз. Егер белгінің өзгеруші мәндері тақ болып, ұлғаю ретімен орналасса x1,x2, …, xm-1, ,xm ,xm+1, …, ,x2n-1, онда бұл үйлестіру үшін Ме медианасы хm вариантасына тең, яғни Ме =хm, өйткені Ме =хm – нен төмен де жоғары да белгінің саны бірдей m-1 мәндері орналасқан.
Ал варианта саны жұп болса, x1,x2, …, xm-1, ,xm ,xm+1, …, x2m, онда бұл жиынтықты тең екіге бөлетін медиана мәні (xm ,xm+1) аралығында болады. Бұл жағдайда медиана Ме – нің мәні осы екі вариантаның арифметикалық ортасы болады, яғни

4) Вариация құрамы. Ауытқу сипаттамаларының ішіндегі ең қарапайым – вариация құрамы. Мұның мәні R белгінің максимум және минимум мәнінің айырымына тең

5) Дисперсия және орташа квадраттық ауытқу.

Кездейсоқ шамамен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия (шашырау дейді).

Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д(х) арқылы белгілесек, онда анықтама бойынша:

Белгі мәндерінің арифметикалық ортадан ауытқу квадраттары қосындысының арифметикалық ортасын таңдамалы дисперсия немесе дисперсия дейміз.

Тандама орта және дисперсияны есептеу көбейту әдісі.

а) Шарттық варианталар.

Делік, таңдама варианттарлары өспелі ретінде орналасқан, яғни вариациялық қатар түрінде. Айырымы h – қа тең арифметикалық прогрессияны құрастыратын варианталарды бірдей қашықтықтағы варианталар деп атайды.

Алғашқы варианталарды шарттық варианталарға ауыстыруы, ықшамдалған әдістер таңдамының жинақты сипаттамаларын есептеу үшін негізделген.

б) Таңдамалы орта мен дисперсияны есептеу көбейтінді әдісін қарастырайық.
Делік, таңдама бірдей қашықтықтағы варианталар және оларға сәйкес жиіліктер түрінде берілсін. Бұл жағдайда таңдамалы ортаны және дисперсияны көбейту әдісі формулаларымен табу қолайлы.

Көбейтінді әдісін қолдауын бір мысалда қарастырайық.

Мысал. Көлемі n=100 берілген үлестірімнің таңдамалы орта мен дисперсиясын табыңыз.

Варианта: хі 12 14 16 18 20 22

Жиілік: ni 5 15 50 16 10 4

Шешуі. Бірінші есептеу кестені құрамыз; Ол үшін:

1) Варианталарды бірінші бағанға жазамыз.

2) Жиіліктерді екінші бағанға жазамыз, жиілік қосындысын (n=100) екінші бағанның төменгі торшасына жазамыз.

3) Жалған ноль (С) ретінде С=16 вариантаны аламыз, оның ең үлкен жиілігі бар (С ретінде бағаның ортасында тұрған әлде қандай вариантаны алуға болады). Жалған ноль тұрған жолдың үшінші бағанның торшасына 0 жазамыз, оның үстінен тізбектеп – 1, -2 – жазамыз, ал о – дың астына 1,2,3 жазамыз.

4) Жиіліктердің шарттық варианталарға көбейтінділерін төртінші бағанға жазамыз, ал олардың қосындысын бағанның төменгі торшасына орналастырамыз (1-кесте).
хі ni

12 5 -2 -10 20 5 1
14 15 -1 -15 15 0 0
16 50 0 0 0 50 1
18 16 1 16 16 64 4
20 10 2 20 40 90 9
22 4 3 12 36 64 16

Бақылау:

273=127+2*23+100

273=127+146

273=273

5) Жиілікті шарттық варианталардың квадраттарына көбейтіп шыққан көбейтінділерді бесінші бағанға жазамыз, шыққан сандарды қосып, олардың қосындысын бағанның төменгі торшасына орналастырады.

6) Шарттық ықтималдылықтарды 1 санына үлкейтіп және олардың квадраттарын сәйкес жиеліктерге көбейтіп көбейтіндіні алтыншы бақылау бағанға жазамыз; барлық шыққан сандарды қосып, олардың қосындысын бағанның төменгі торшасына орналастырамыз.

Қорытындыда 1-ші кесте шығады.

Бақылау үшін мына теңбе-теңдікті қолданамыз:

Бақылау: ; =127+2*23+100

Бақылау қосындылардың дәл келу есептеуінің дұрыс болу куәлігі. Бірінші және екінші ретті шарттық сәттерді есептейміз.

Қадамын табайық һ=14-12=2

Жалған ноль С=16 еске алып, таңдамалы орта мен дисперсияны есептейміз.

Статистикалық қатарлар зерттелетін құбылыстың құрылымын сипаттайды, жиынтықтың біртекті немесе әр тектілігін, даму заңдылықтарын анықтайды. Динамикалық қатарлар құбылыстардың уақытқа байланысты ӛзгеруін кӛрсетеді; таратпалы қатарлар зерттелетін құбылыстың құрамы мен құрылымын кӛрсетеді. Атрибуттық қатардың негізіне — сапалық белгі; вариациялық қатардың негізіне – сандық белгі алынады. Вариациялық таратпалы қатар дискретті және интервалды болып бӛлінеді. Дискретті вариациялық таратпалы қатарлардың топтастыру белгісі тек бүтін санды қабылдайды. Интервалды вариациялық таратпалы қатарлардың топтастыру белгісі кез-келген мәнді қабылдайды.

Белгілердің жіктемесі және сипаттамасы

Жіктеу принципі	Белгілердің    түрлері	Сипаттау ерекшеліктері
Мазмұны бойынша	Негізгі Көмекші	Құбылыстардың, процестер-дің негізгі ерекшеліктерін көрсетеді.  Қосымша мәліметтерді алу үшін қажет
Сандық мөлшері және олар дың белгілерінің өзгешеліктері бойынша	Сандық Соның ішінде: а) үздікті (дискретті) б)үздіксіз (интервалды) в)Атрибутивті (сапалық	Белгінің жеке мәндері сан түрінде беріледі Тек қана бүтін санды қабыл- дайды Кез-келген мәнді қабылдайды Белгінің жеке мәндері белгілі бір ұғым түрінде беріледі

Интервалды таратпалы қатарды құру технологиясы Варияциялық таратпалы қатардың екі элементі болады: — вариант (х) – белгінің таратпалы қатардағы жеке мәні; — жиілік (f) – әр варианттың неше рет қайталанғанын кӛрсететін кӛрсеткіштердің жеке мәндері. Топтау кезінде топтық белгілері бүтін санмен берілетін болса, онда бӛлініп алынған топтар саны сол берілген белгілердің мәніне сәйкес келеді. Интервалды вариациялық қатарлардың варианттарының мәндері интервалдар түрінде беріледі. Интервалдар ашық және жабық, бірдей және әр түрлі болып бӛлінеді

Кәсіпорындардағы жұмысшылар саны, адам	Интервалдың ұзындығы
100-ге дейін	Төменгі шегі жоқ
100-200	100
200-500	300
500-1000	500
1000 және одан жоғары	Жоғарғы шегі жоқ

Бір ғана шегі көрсетілген (жоғарғы немесе төменгі) интервалдар ашық деп аталады. Келтірілген мысалда бұл бірінші және бесінші интервал, бұл белгінің шексіз ауытқуын білдіреді. Қалған интервалдардың жоғарғы және төменгі шектері бар, сондықтан олар жабық интервалдар деп аталады. Сонымен бірге осы мысалда бірдей емес интервалдар да қолданылған. Бір үлгідегі топтар бойынша бірліктердің сандық ерекшеліктерін сипаттау үшін бірдей интервалдарды қолданады. Бірдей интервалдары бар қатарды құру кезінде топтардың санын және интервалдың тұрақты шамасын дұрыс таңдаған маңызды, ол оңтайлы болуы тиіс.

Топ саны зерттелетін жиынтық ерекшелігіне байланысты болады. Топ санын анықтағанда Американ ғалымы Стерджесс формуласын қолданады. n=1+3,322lgN

мұндағы N – таратпалы қатардағы бірліктердің жалпы саны;

n — топтың саны.

Тірі организмдердің даму процестері ете күрделі, оларды қоршаған орта жағдайлары мен олардың тұқым қуалаушылық қасиеттері әртүрлі болғандықтан, ең алдымен сол объекті-лердің өзіне биологиялық зерттеу жүргізу керек. Тек сонан соң ғана оларды сапа жағынан біркелкі топтарға бөліп, математикалық талдауға салу керек.

Табиғатында, статистика – жаппай қоғамдық құбылыстардың құрамы мен өзгеру процестерін зерттейтін қоғамдық ғылымның бір саласы. Бұл жайында анықтамада айтылған. Қоғамдық ғылым ретінде, республикамызда болып жатқан жалпы әлеуметтік – экономикалық құбылыстар мен процестердің өзгеру заңдылықтары мен есептеу, талдау сияқты әдістемелерін анықтайды. Сонымен, статистика әлеуметтік – экономикалық құбылыстар мен процестер туралы жаппай мәліметтерді жинау, топтау, талдау әдістерін үйретеді және бұл тәсілдерді басқа ғылымдарда да қолданады. Статистиканың сандық жағы деп, зерттелген әлеуметтік-экономикалық құбылыстың, процестің көлемін, мөлшерін сандық көрсеткіштер түрінде сипаттауын айтады.