1.Қос сызықтық регрессия.

Оқытылатын белгілер арасындағы мөлшерлі тәуелділіктердің орнықтылығы, әр түрлі экономикалық зерттеулер үшін маңызды мән атқарады. Белгілер арасындағы байланыс корреляциялық( статистикалық ) және функционалдық ( толық ) болуы мүмкін. Функционалдық дегеніміз, функцияның бір айнымалысының  әрбір мәніне міндетті түрде анықталған басқа бір айнымалының мәні сәйкес келетін, белгілер арасындағы байланыс. Әлеуметтік – экономикалық құбылыстарды белгілер арасындағы функционалдық байланыс сирек кездеседі. Мұнда біреуінің әрбір мәніне екіншісінің бірнеше мәні сәйкес келетін белгілер арасындағы байланыс кездеседі. Мұндай байланыс корреляциялық  деп аталады. Корреляциялық байланыс үлкен сандарды бақылағанда көрсетіледі және сәйкес математикалық теңдеулерде көрсетіледі. Түзу сызықты және қисық сызықты, тура және кері , жай және бірнеше корреляциялық  байланыстарды ажыратады. Корреляциялық  талдау әдісінің көмегімен екі негізгі мәселе шешіледі:

• Байланыс теңдеуінің тұлғасын (формасын) және параметрлерін анықтау;
• Байланыс тығыздығын өлшеу ;

Белгілер арасындағы тәуелділіктер үшін теңдеулерді таңдап алу корреляциялық  талдау үшін қиыныраққа түседі. Қос корреляция үшін математикалық байланыс теңдеуді, графиктерді, корреляциялық кестелерді құрастыру арқылы  әр түрлі функцияларды жаңадан қарастыру арқылы орнықтылуы мүмкін.

Экономикалық зерттеулерде көбінесе  ỹ_x =a+b*x түзу сызық теңдеуімен анықталатын түзу сызықты тәуелділік қарастырылады, мұндағы ỹ_x-нәтижелі белгінің түзетілген мәндері (тәуелді айнымалы), x-факторлы белгінің мәндері (тәуелсіз айнымалы),b-тәуелді  айнымалының орташа өзгертілуінің тәуелсіз айнымалының бірге өзгертілуінің  көрсететін  регрессия коэффициенті.  Егер b › 0, онда байланыс –тура, егер  b ‹ 0 болса, онда байланыс кері. Бұл теңдеу регрессия теңдеуі немесе корреляция теңдеуі деп аталады.

2.Ең кіші квадраттар әдісі.

Регрессия теңдеудің  а  және b параметрлерін корреляциялық  өріс нүктелеріне жақынырақ өтетін регрессияның теориялық сызығын табуға болатындай ең кіші квадраттар әдісімен анықталады, яғни нәтижелі белгінің фактылық мәнінің түзетілген мәндердің ауытқуының ең кіші квадраттар қосындысы береді:

a  және b параметрлерін анықтау үшін нормаль теңдеулер жүйесін шешу керек:

а және b коэффициенттерін мына формулалар бойынша табуға болады :

;

 

Мұндағы     =  ;                  ;

;

Корреляциялық байланыс теңдеуі регрессияның  теориялық сызығын есептеу үшін қолданылады. Белгілер арасындағы  тығыздық   байланыс  дәрежесін анықтау үшін корреляция коэфициенті қолданылады. Қос сызықтық корреляция тәуелділік корреляция коэффициенті   r  мына формула бойынша анықталады :

Мұндағы        ;

Корреляция коэффициенттің мәндері  аралықта өзгереді, яғни   -1

Егер бұл коэффициент      онда белгілер арасында байланыс әлсіз ;                          егер   0,3 онда  байланыс орташа ;

егер     онда байланыс күшті немесе тығыз.

Егер   |r| =1     онда байланыс функционалдық.

Егер   r= 0   онда белгілер арасында сызықтық  байланыс  жоқ деп айтады. Корреляция коэффициенті  r- дың мәндері әлеуметтік – экономикалық құбылыстар зерттеуіне үлкен әсер көрсетеді.

Мысал.    Өткен 10 жылдық тауар айналымы белгілі болсын. Ол кесте арқылы берілсін. Х- жылдар және У- тауар айналымы (мың тенге)

x	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
y	60	80	70	100	120	130	100	120	90	100

1. 1. Тауар айналымының уақытқа сызықтық корреляцияның деп жорып регрессия сызығының теңдеуін құрыңыз. ỵ=а+b*x
2. 2. Корреляцияның сызықтық коэффициентінің шамасы бойынша x және y белгілер арасындағы байланыстың тығыздығын бағалаңыз .
3. Тауар айналымының 10 жылының болжамын анықтаңыз.
4. Регрессия сызығының графигін салыңыз. Графикте тауар айналымының эмпирикалық шамаларын көрсетіңіз.

Задача №28 ( СРСП  мат.прог.)

	x	y	x·y	x2	y2
1)	3	60	180	9	3600
2)	6	80	480	36	6400
3)	9	70	630	81	4900
4)	12	100	1200	144	10000
5)	15	120	1800	225	14400
6)	18	130	2340	324	16900
7)	21	100	2100	441	10000
8)	24	120	2880	576	14400
9)	27	90	2430	729	8100
10)	30	100	3000	900	10000
∑	165	970	17040	3465	98700
Орт.мәні	16,5	97	1704	346,5	9870

b>0 – байланыс тура

y = 74.07 + 1,39 x

r = 0,56 – байланыс орташа

X

30

Y

y= 74,07+ 1,39x

Егер x=10,  онда y (10)= 74,07+ 1,39*35= 87,97

Сызықты регрессия табылғаннан кейін теңдеудің толған түрде және бөлек  параметрлерінің маңыздылық  бағалау өткізіледі. Регрессия  теңдеуінің маңыздылығын тексеру – айнымалылар арасындағы тәуелділікті өрнектеу математикалық моделінің эксперименталдық  берілгендерге сәйкестілілігін анықтау және тәуелді  айнымалыларды сипаттау үшін теңдеуге енгізілген түсіндірме айнымалылардың жеткілігін тексеру. Регрессия  теңдеуінің маңыздылық бағалауын  толған түрде Фишердің  F – критерий негізінде жасалады, ол  регрессия теңдеуінің статистикалық  маңыздылық еместігін  H₀  болжамының және байланыс тығыздық белгісін тексеруінде қорытынды шығарады. F – факторлық  келесі  формуламен анықталады.

F_факт=

Мұндағы  r ²_xy —  детерминация  коэффициенті;

n – жиынтық бірлік саны;

F кризистік – критерийдің  берілген ( 1; n -2) еркіндік  дәрежедегі және деңгей маңыздылығы  — дағы мүмкіндік мәні.

Деңгей маңыздылығы    дегеніміз – дұрыс болжамды қабылдамау. Ықтималдық , егер болжамның дұрыс болу шарты орындалса. Кәдімгі  — ң  мәндері 0,05 немесе 0,01 болады.                           Егер  F – критерийінің фактылық мәні кризистік  кестенің мәнінен үлкен  F_факт  > F_криз   (;n-2)  болса , онда  H₀ болжамы қабылданбайды , яғни  регрессия теңдеуін  статистикалық маңыздылығы және сенімділігі мойындалады. Парлық  (қос)  регрессияда теңдеудің  маңыздылық бағалау мен бірге кейбір  параметрлерінің  де маңыздылығы анықталады. Ол мақсатымен әрбір параметрінің кездейсоқ  қателері мына формулалармен  анықталады:

m_b=  ;

 

m_a =   ;

Корреляция коэффициенттерінің маңыздылығы m_r  мына формуламен көрсетіледі.

m_{к =}

Регрессия және корреляция коэффициенттерінің статистикалық маңыздылығын бағалау үшін студенттің t – критерий коэффициенті  есептелінеді. Белгілердің кездейсоқ табигі  туралы H₀ болжамы ұсынылады, яғни олардың  нольден маңызды емес ауытқуы туралы. Регрессия және корреляция коэффициенттерінің маңыздылық бағалары олардың мәндерін кездейсоқ қателер  шамаларын салыстыру  жолымен өткізіледі.

t _{b=  ;}       t_{a= ;}          t_{r=   ;}

Фактылық және кризистік  (кестенің )  t – статистикаларды салыстырамыз.

Егер   t_факт > t_криз  (; n-2)  , онда  H₀ болжамы 0абылданбайды6 яғни  a,  b және r _xy мәндерінің  нольден ауытқуы кездейсоқ емес және олар барлығы статистикалық маңызды . Керісінше жағдайда  H₀ болжамы қабылданады.